Если выражение содержит действия только одной ступени то действия выполняются

Порядок выполнения действий

Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.

Порядок выполнения действий при нахождении значений выражений определяется следующими правилами.

1. Если в выражении нет скобок, и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.

2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени, и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом – действия первой ступени

3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Пример 1. Найдем значение выражения:

800 — 625 + 331 + 87 — 119.

Это выражение не имеет скобок и содержит действия только первой ступени, поэтому следует выполнять действия по порядку слева направо: 800 — 625 = 175, 175 + 331 = 506, 506 + 87 = 593, 593 — 119 = 474.

Итак, значение выражения равно 474.

Пример 2. Найдем значение выражения:

780 : 39 • 212 : 106 • 13.

Это выражение не содержит скобок, и в нем имеются действия только второй ступени, поэтому их следует выполнять по порядку слева направо:

780 : 39 = 20, 20 • 212 = 4240, 4240 : 106 = 40, 40 • 13 = 520.

Итак, значение выражения равно 520.

Пример 3. Найдем значение выражения:

5781 — 28 •75 : 25 + 156 : 12.

Это выражение не содержит скобок, и в нем есть действия первой и второй ступени. Поэтому вначале выполним действия второй ступени: 23 • 75 = 2100, 2100 : 25 = 84, 156 : 12 = 13, а потом действия первой ступени: 5781 — 84 = 5697, 5697 + 13 = 5710.

Значение выражения равно 5710.

Пример 4. Найдем значение выражения:

36000 : (62 + 14 • 2) – 23 • 5.

Это выражение содержит скобки. Поэтому выполним сначала действия в скобках: 62+14 • 2 = = 62 + 28 = 90.

Подставив это значение, получим: 36 000 : 90 — 23 • 5.

Вычислив значение последнего выражения, получим 285.

В выражениях, содержащих скобки, можно эти скобки не писать, если при этом порядок действий не изменяется.

Пример 5. Вместо (53 — 12) + 14 можно написать 53 — 12 + 14, так как в обоих случаях порядок действий одинаков:

53 — 12 = 41, 41 + 14 = 55.

Изменять порядок действий можно на основе свойств сложения, вычитания и умножения.

Каждое выражение задает программу своего вычисления. Она состоит из команд.

Например, программе вычисления выражения

(814 + 36 • 27) : (101 — 2052 : 38) состоит из следующих команд.

1. Перемножить числа 36 и 27.

2. Сложить 814 с результатом команды 1.

3. Разделить 2052 на 38.

4. Вычесть из 101 результат команды 3.

5. Разделить результат команды 2 на результат команды 4.

Эту программу вычислений можно изобразить в виде схемы (рис. 57).

Рис. 57. Схема программы вычисления выражения: (814 + 36 • 27) : (101 — 2052 : 38)

Последовательно выполнив действия и заполнив при этом пустые клетки, получим в нижней клетке ответ.

Источник

Действия первой и второй ступени

Арифметические действия делятся на действия первой и второй ступени.

Действия первой ступени — это сложение и вычитание:

7 — 3 — вычитание.

Действия второй ступени — это умножение и деление:

5 · 4 — умножение,

Порядок действий

Если выражение содержит действия только одной ступени и в нём нет скобок, то действия выполняются в порядке их следования слева направо.

Пример 1. Вычислить значение выражения:

15 + 17 — 20 + 8 — 12.

Решение: Данное выражение содержит действия только одной ступени — первой (сложение и вычитание). Надо определить порядок действий и выполнить их.

1	2	3	4
15	+	17	—	20	+	8	—	12

Пример 2. Вычислить значение выражения:

60 : 15 · 7 : 2 · 3.

Решение: Данное выражение содержит действия только одной ступени — второй (умножение и деление). Надо определить порядок действий и выполнить их.

1	2	3	4
60	:	15	·	7	:	2	·	3

Если выражение содержит действия обеих ступеней, то первыми выполняются действия второй ступени, в порядке их следования (слева направо), а затем действия первой ступени.

Пример. Вычислить значение выражения:

24 : 3 + 5 · 2 — 17.

Решение: Данное выражение содержит четыре действия: два первой ступени и два второй. Определим порядок их выполнения: согласно правилу первым действием будет деление, вторым — умножение, третьим — сложение, а четвёртым — вычитание.

Источник

Порядок действий в математике

О чем эта статья:

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше ( )
меньше (

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

• Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение степень — операция умножения числа на самого себя несколько раз.

Основание степени — число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.

Показатель степени — число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.

Степенью называется число, которое получается в результате взаимодействия основания и показателя степени.

• Запись: 34 = 81, где 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — степень.
• 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3

Вторая степень называется квадратом, третья степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Извлечение корня — арифметическое действие, обратное возведению в степень.

• Запись: 4√81 = 3, где 81 — подкоренное число, 4 — показатель корня, 3 — корень.
• З^4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
• 2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются по порядку слева направо
• сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

• Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 18.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 24, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 — 7.

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7 = 3 * 3 + 36 : 3 — 7 = 9 + 12 — 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 — 7 = 14.

У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!

Источник

Порядок выполнения действий

Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.

Порядок выполнения действий при нахождении значений выражений определяется следующими правилами.

1. Если в выражении нет скобок, и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.

2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени, и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом – действия первой ступени

3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Пример 1. Найдем значение выражения:

800 — 625 + 331 + 87 — 119.

Это выражение не имеет скобок и содержит действия только первой ступени, поэтому следует выполнять действия по порядку слева направо: 800 — 625 = 175, 175 + 331 = 506, 506 + 87 = 593, 593 — 119 = 474.

Итак, значение выражения равно 474.

Пример 2. Найдем значение выражения:

780 : 39 • 212 : 106 • 13.

Это выражение не содержит скобок, и в нем имеются действия только второй ступени, поэтому их следует выполнять по порядку слева направо:

780 : 39 = 20, 20 • 212 = 4240, 4240 : 106 = 40, 40 • 13 = 520.

Итак, значение выражения равно 520.

Пример 3. Найдем значение выражения:

5781 — 28 •75 : 25 + 156 : 12.

Это выражение не содержит скобок, и в нем есть действия первой и второй ступени. Поэтому вначале выполним действия второй ступени: 23 • 75 = 2100, 2100 : 25 = 84, 156 : 12 = 13, а потом действия первой ступени: 5781 — 84 = 5697, 5697 + 13 = 5710.

Значение выражения равно 5710.

Пример 4. Найдем значение выражения:

36000 : (62 + 14 • 2) – 23 • 5.

Это выражение содержит скобки. Поэтому выполним сначала действия в скобках: 62+14 • 2 = = 62 + 28 = 90.

Подставив это значение, получим: 36 000 : 90 — 23 • 5.

Вычислив значение последнего выражения, получим 285.

В выражениях, содержащих скобки, можно эти скобки не писать, если при этом порядок действий не изменяется.

Пример 5. Вместо (53 — 12) + 14 можно написать 53 — 12 + 14, так как в обоих случаях порядок действий одинаков:

53 — 12 = 41, 41 + 14 = 55.

Изменять порядок действий можно на основе свойств сложения, вычитания и умножения.

Каждое выражение задает программу своего вычисления. Она состоит из команд.

Например, программе вычисления выражения

(814 + 36 • 27) : (101 — 2052 : 38) состоит из следующих команд.

1. Перемножить числа 36 и 27.

2. Сложить 814 с результатом команды 1.

3. Разделить 2052 на 38.

4. Вычесть из 101 результат команды 3.

5. Разделить результат команды 2 на результат команды 4.

Эту программу вычислений можно изобразить в виде схемы (рис. 57).

Рис. 57. Схема программы вычисления выражения: (814 + 36 • 27) : (101 — 2052 : 38)

Последовательно выполнив действия и заполнив при этом пустые клетки, получим в нижней клетке ответ.

Источник